Matriu contrària i inversa

Tant la matriu contigua com la matriu inversa s’obtenen a partir d’operacions lineals sobre una matriu, i són dues matrius diferents amb propietats diferents.

Més informació sobre la matriu adjunta o clàssica (clàssica)

La matriu contigua o la matriu adjugant és la transposició de la matriu cofactor. Si la matriu cofactor de A és C, llavors la matriu adjugada d'A és donada per CT. és a dir, adj (A) = CT.

La matriu de cofactor és donada per C = (-1) i + j Mij, on Mij és la menor de l'element ijth. El determinant de la matriu obtinguda mitjançant l'eliminació de la fila i la columna jth es coneix com el menor de l'element ijth. [Per calcular la matriu adjugant, primer trobeu els menors de cada element, després formeu la matriu cofactor, finalment prenent la transposició de la que dóna la matriu adjugant].

L'adjunt es pot utilitzar per calcular la inversa d'una matriu i per trobar la derivada d'un determinant mitjançant la fórmula de Jacobi. El terme "adjunt" està més aviat obsoleta i ara s'utilitza per conjugar complexos d'una matriu. Per tant, el terme propi és matriu adjugant o matriu adjunta.

Més informació sobre la matriu inversa

L’invers d’una matriu es defineix com una matriu que dóna la matriu d’identitat quan es multiplica junts. Per tant, per definició, si AB = BA = I, aleshores B és la matriu inversa de A i A és la matriu inversa de B. Així, si considerem B = A-1, llavors AA-1 = A-1A = I

Perquè una matriu sigui inversible, la condició necessària i suficient és que el determinant de A no sigui zero. és a dir | A | = det (A) ≠ 0. Es diu que una matriu és inversible, no singular o no degenerativa si compleix aquesta condició. Es dedueix que A és una matriu quadrada i tant A-1 com A tenen la mateixa mida.

La inversa de la matriu A es pot calcular mitjançant molts mètodes en l'àlgebra lineal com l'eliminació de Gauss, la Eigendecomposició, la descomposició de Cholesky i la regla de Carmer. Una matriu també es pot invertir mitjançant mètode d’inversió de blocs i sèries de Neumann.

La regla de Cramer proporciona un mètode analític per trobar la inversa d'una matriu, i la condició de no-singularitat també es pot explicar pels resultats. Per regla de Cramer A-1 = adj (A) / det (A) o adj (A) = A-1 det (A). Perquè el resultat sigui vàlid, det (A) ≠ 0, per tant, les matrius són invertibles si només es compleix la condició anterior.

Quina diferència hi ha entre les matrius adjacents i les inverses?

• L'ajust o l'adjunt d'una matriu és la transposició de la matriu cofactor, mentre que la matriu inversa és una matriu que dóna la matriu d'identitat quan es multiplica entre elles.

• La matriu adjunta es pot utilitzar per calcular la matriu inversa i és un dels mètodes habituals de trobar les inverses manualment.

• Per a cada matriu, existeix una matriu adjugant, però la inversa existeix si i només si el determinant és zero.